Apéndice B — Fórmulas de transición, matrices de Gell-Mann y polinomios de Chebyshev
Este apéndice junta en un lugar las fórmulas cerradas que usan los capítulos 2 y 3: la compuerta universal y las reflexiones escritas en \(q=qg_Z\), la probabilidad de transición, la generalización de \(qg_Z\) a qudits con las matrices de Gell-Mann diagonales y la trayectoria de Grover como polinomio de Chebyshev (notas, §37 y §166). No hay resultados nuevos. Lo que agrega es la comprobación: tools/make_appendices.py evalúa cada fórmula de qang.algebra contra el álgebra lineal directa en 2000 estados al azar y escribe acá el error máximo. Si una fórmula estuviera mal, el script se detiene.
B.1 Fórmulas de un qubit
Con \(q=qg_Z=\cos\theta\) vale \(\cos\tfrac\theta2=\sqrt{(1+q)/2}\) y \(\sin\tfrac\theta2=\sqrt{(1-q)/2}\). El estado puro de sesgo polar \(q\) y azimut \(\varphi\) es
\[ |\psi(q,\varphi)\rangle=\sqrt{\tfrac{1+q}{2}}\,|0\rangle+e^{i\varphi}\sqrt{\tfrac{1-q}{2}}\,|1\rangle,\qquad \vec r=\big(\sqrt{1-q^2}\cos\varphi,\ \sqrt{1-q^2}\sin\varphi,\ q\big). \]
En la escala angular qga del capítulo 1 (Sección 1.4), con \(\theta=2\pi\,\theta_{qga}/1000\), el sesgo es \(q=\cos(2\pi\,\theta_{qga}/1000)\) y las amplitudes son \(\cos(\pi\,\theta_{qga}/1000)\) y \(\sin(\pi\,\theta_{qga}/1000)\): las fórmulas de abajo no cambian, sólo la unidad del ángulo.
Las fórmulas son:
\[ U_3^{qg}(q,\varphi,\lambda)=\begin{pmatrix}\sqrt{\tfrac{1+q}{2}} & -e^{i\lambda}\sqrt{\tfrac{1-q}{2}}\\ e^{i\varphi}\sqrt{\tfrac{1-q}{2}} & e^{i(\varphi+\lambda)}\sqrt{\tfrac{1+q}{2}}\end{pmatrix},\qquad \big|U_{ij}\big|^2=\begin{pmatrix}\tfrac{1+q}{2} & \tfrac{1-q}{2}\\ \tfrac{1-q}{2} & \tfrac{1+q}{2}\end{pmatrix} \tag{B.1}\]
\[ I-2|\psi\rangle\langle\psi|=-q\,Z-\sqrt{1-q^2}\,X,\qquad 2|\psi\rangle\langle\psi|-I=q\,Z+\sqrt{1-q^2}\,X \tag{B.2}\]
\[ |\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2=\frac{1+\vec r_1\cdot\vec r_2}{2}\ \xrightarrow{\ \varphi_1=\varphi_2\ }\ \frac{1+q_1q_2+\sqrt{(1-q_1^2)(1-q_2^2)}}{2} \tag{B.3}\]
| fórmula | función de qang.algebra |
comparada con | error máximo |
|---|---|---|---|
| compuerta universal | u3_qang |
UGate(arccos q, φ, λ) de Qiskit |
\(1{,}7\cdot10^{-16}\) |
| matriz de transición | transition_matrix |
\(\vert{}U_{ij}\vert{}^2\) | \(5{,}6\cdot10^{-16}\) |
| Householder | householder_qg |
\(I-2\vert{}\psi\rangle\langle\psi\vert{}\) | \(1{,}2\cdot10^{-15}\) |
| difusor de Grover | grover_diffuser_qg |
\(2\vert{}\psi\rangle\langle\psi\vert{}-I\) | \(1{,}2\cdot10^{-15}\) |
| probabilidad de transición | transition_probability |
\(\vert{}\langle\psi_1\vert{}\psi_2\rangle\vert{}^2\) | \(5{,}6\cdot10^{-16}\) |
| misma, sobre un meridiano | (forma cerrada) | \(\vert{}\langle\psi_1\vert{}\psi_2\rangle\vert{}^2\) | \(6{,}7\cdot10^{-16}\) |
La matriz de transición es doblemente estocástica, racional en \(q\) y no depende de las fases: la probabilidad que deja una compuerta se lee sin trigonometría. Con \((q,\varphi,\lambda)=(1,0,0)\), \((-1,0,\pi)\), \((1,0,\pi)\) y \((0,0,\pi)\), Ecuación B.1 da exactamente \(I\), \(X\), \(Z\) y \(H\); el script lo comprueba. El reflector y el difusor son el mismo operador con signo opuesto, y los dos son combinaciones lineales de \(Z\) y \(X\) con coeficientes \(q\) y \(\sqrt{1-q^2}\) (capítulo 3).
B.2 Matrices de Gell-Mann diagonales
Un qudit de \(d\) niveles tiene \(d^2-1\) generadores de \(\mathfrak{su}(d)\), las matrices de Gell-Mann generalizadas. Sólo \(d-1\) son diagonales: forman la subálgebra de Cartan y son las únicas que se leen midiendo en la base computacional. Son
\[ \lambda_k=\sqrt{\tfrac{2}{k(k+1)}}\;\mathrm{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_{k},-k,0,\dots,0),\qquad k=1,\dots,d-1,\qquad \mathrm{Tr}(\lambda_j\lambda_k)=2\delta_{jk}, \tag{B.4}\]
y sus valores esperados son lineales en las poblaciones \(p\) y las determinan:
\[ \langle\lambda_k\rangle=\sum_i p_i\,(\lambda_k)_{ii},\qquad p=\frac1d+\frac12\sum_{k=1}^{d-1}\langle\lambda_k\rangle\,\mathrm{diag}(\lambda_k). \tag{B.5}\]
cartan_generators.
| \(d\) | \(k\) | \(\lambda_k\) |
|---|---|---|
| 2 | 1 | \(\mathrm{diag}(1, -1)\) |
| 3 | 1 | \(\mathrm{diag}(1, -1, 0)\) |
| 3 | 2 | \(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,\mathrm{diag}(1, 1, -2)\) |
| 4 | 1 | \(\mathrm{diag}(1, -1, 0, 0)\) |
| 4 | 2 | \(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,\mathrm{diag}(1, 1, -2, 0)\) |
| 4 | 3 | \(\tfrac{1}{\sqrt{6}}\,\mathrm{diag}(1, 1, 1, -3)\) |
Para \(d=2\) la única es \(\lambda_1=Z\) y su valor es \(qg_Z\). Para \(d=3\) son las \(\lambda_3\) y \(\lambda_8\) de Gell-Mann. El script recupera las poblaciones desde los \(d-1\) valores para \(d=2,\dots,6\), 200 distribuciones al azar cada una, con error máximo \(2{,}2\cdot10^{-16}\). Un ejemplo: el qutrit con \(p=(0{,}5;\ 0{,}3;\ 0{,}2)\) lee \(\langle\lambda_3\rangle=0{,}2000\) y \(\langle\lambda_8\rangle=0{,}2309\).
Esto es una definición y una identidad. Si leer más niveles le da a qang alguna ventaja se preguntó en §70 para la fuga, y no se encontró ninguna (capítulo 2).
B.3 Polinomios de Chebyshev y la trayectoria de Grover
Con amplitud \(a=\sin^2t\) y la bandera bueno/malo leída como un qubit, \(qg_0=1-2a=\cos2t\). Cada iteración de Grover suma \(2t\) al ángulo, así que tras \(k\) iteraciones
\[ qg_k=T_{2k+1}(qg_0),\qquad T_m(\cos x)=\cos mx, \tag{B.6}\]
con \(T_m\) el polinomio de Chebyshev de primera especie. Como \(T_m'=m\,U_{m-1}\) y \(1-T_m^2=(1-q^2)\,U_{m-1}^2\), la información de Fisher de un disparo a profundidad \(m\) es
\[ F_m(qg_0)=\frac{m^2}{1-qg_0^2}, \tag{B.7}\]
el factor \(m^2\) sobre la información de profundidad 1, igual en todo el recorrido. Es la forma qg del conocido \(4m^2\) para el ángulo (Suzuki et al. 2020).
| \(k\) | \(m=2k+1\) | \(T_m(q)\) | \(F_m/F_1\) | \(qg_k\) con \(a=0{,}1\) (m-qg) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(q\) | 1 | +800,0 |
| 1 | 3 | \(4q^{3} - 3q\) | 9 | -352,0 |
| 2 | 5 | \(16q^{5} - 20q^{3} + 5q\) | 25 | -997,1 |
| 3 | 7 | \(64q^{7} - 112q^{5} + 56q^{3} - 7q\) | 49 | -206,4 |
| 4 | 9 | \(256q^{9} - 576q^{7} + 432q^{5} - 120q^{3} + 9q\) | 81 | +881,5 |
El script aplica el difusor de Ecuación B.2 y el oráculo \(Z\) a 200 estados iniciales al azar, hasta \(k=5\), y encuentra Ecuación B.6 con error máximo \(1{,}7\cdot10^{-15}\). Comprueba Ecuación B.7 por diferencias finitas para \(m=1,\dots,9\), con error relativo máximo \(1{,}7\cdot10^{-10}\). Lo práctico de §37 está en el capítulo 3: el ruido tiene que entrar en la verosimilitud, y la ventaja de la estimación de amplitud termina cerca de la profundidad \(1/p\).
Notas bibliográficas
Las matrices son las de Gell-Mann (1962). El reflector es el de Householder (1958); la búsqueda de Grover, Grover (1996); la estimación de amplitud, Brassard et al. (2002), y su versión por máxima verosimilitud, Suzuki et al. (2020). La probabilidad de transición es la distancia de Wootters (1981). Las notas numeradas (§) y el script de este apéndice están en el repositorio (Monteverde 2026).