Apéndice F — Fundamento de análisis funcional: Riesz–Fréchet
Este apéndice es conceptual y no agrega resultados. Es el apéndice A de las notas de investigación, que el capítulo 4 cita: explica por qué \(qg_Z\) es la lectura lineal canónica de un estado y por qué \(qg_S\) no puede serlo. Las tres comprobaciones numéricas las hace tools/make_appendices.py.
F.1 El marco
Para \(n\) qubits, los operadores sobre \(\mathbb{C}^{2^n}\) forman un espacio de Hilbert de dimensión finita con el producto de Hilbert–Schmidt
\[ \langle A,B\rangle=\mathrm{Tr}(A^\dagger B), \]
y las matrices densidad viven en él.
F.2 El teorema
Representación de Riesz–Fréchet (Riesz 1907; Fréchet 1907). Todo funcional lineal continuo \(f\) sobre un espacio de Hilbert \(H\) es de la forma \(f(x)=\langle y_f,x\rangle\) para un único \(y_f\in H\). En dimensión finita la continuidad es automática y el teorema se reduce a álgebra lineal: con una base ortonormal \(\{E_i\}\), \(y_f=\sum_i\overline{f(E_i)}\,E_i\). Por eso es un fundamento y no un resultado.
F.3 Aplicación: \(qg_Z\) tiene representante
La lectura \(\rho\mapsto qg_Z(\rho)=\mathrm{Tr}(\rho\,\sigma_z)\) es lineal en \(\rho\), así que tiene un único representante de Hilbert–Schmidt: \(\sigma_z\) en un qubit, y \(\sigma_z^{(i)}\otimes I\) en el qubit \(i\) de un registro. Toda lectura lineal de un estado, sea un valor esperado, una población o un promedio por disparo como el XEB lineal, tiene esta forma. \(qg_Z\) es aquella cuyo representante es el observable \(Z\).
El script lo comprueba en dos qubits con la base de Pauli normalizada, \(E_P=P/2\). Reconstruye el representante de \(\rho\mapsto\mathrm{Tr}(\rho\,Z\otimes I)\) y obtiene \(Z\otimes I\) con error 0. Para una lectura de poblaciones con pesos al azar, \(\rho\mapsto\sum_x w_x\langle x|\rho|x\rangle\), obtiene \(\mathrm{diag}(w)\) con error \(8{,}7\cdot10^{-18}\).
F.4 Lo que no tiene representante: \(qg_S\)
\(qg_S(\rho)=H(\langle0|\rho|0\rangle)\) es estrictamente cóncava en \(\rho\), no lineal, así que ningún operador la representa. El ejemplo más corto: \(|0\rangle\langle0|\) y \(|1\rangle\langle1|\) tienen \(qg_S=0\) los dos, y su mezcla por mitades tiene \(qg_S=1\) bit; una lectura lineal daría el promedio, 0. Con \(qg_Z\) el promedio sí se cumple: \((+1-1)/2=0\).
El mismo hecho estructural está detrás de dos resultados de las notas:
- §10.3 B: las lecturas lineales tienen estimadores insesgados por promedio de disparos, y la entropía no (desigualdad de Jensen). La tabla da el sesgo exacto, por suma binomial, de los dos estimadores directos.
- §7.1: la identidad \(qg_S=H\big((1+qg_Z)/2\big)\) escribe la métrica no lineal como una función escalar fija de la lineal. \(qg_S\) no lleva información del estado más allá de la que ya extrae el representante de \(qg_Z\).
| \(p_0\) | disparos \(N\) | sesgo del promedio de \(qg_Z\) | sesgo de \(H(k/N)\) (bits) |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 10 | 0 | -0,07650 |
| 0,5 | 100 | 0 | -0,00725 |
| 0,5 | 1000 | 0 | -0,00072 |
| 0,9 | 10 | 0 | -0,08440 |
| 0,9 | 100 | 0 | -0,00735 |
| 0,9 | 1000 | 0 | -0,00072 |
F.5 Sobre el lema de Riesz (1918)
El lema del vector casi ortogonal sirve para mostrar que la bola unidad cerrada de un espacio normado de dimensión infinita no es compacta. En las dimensiones finitas de este libro es trivial, porque siempre existe un vector exactamente ortogonal. No cumple ningún papel en qang y no debería citarse como si lo cumpliera.
Notas bibliográficas
El teorema de representación es Riesz (1907) y Fréchet (1907). La entropía binaria es la de Shannon (1948). Las notas numeradas (§) y el script están en el repositorio (Monteverde 2026).