3 Reflexiones, Householder y la dinámica de Grover
El algoritmo de Grover es, en el fondo, una sucesión de reflexiones. Escrito en unidades qg, cada reflexión es una matriz algebraica en el sesgo polar, la trayectoria del algoritmo es un polinomio de Chebyshev y la información que aporta cada iteración tiene una fórmula cerrada. Todo descansa en la base del capítulo 1: la probabilidad de transición entre dos estados es una probabilidad como \(p_0\), con su propio ángulo qang y su lectura en m-qg, y el sesgo de la bandera de Grover se lee en la misma escala. Las magnitudes derivadas del capítulo 1 (Sección 1.11) se leen aquí sobre el algoritmo: la distancia geodésica \(qg_L\) entre los estados de un reflector, la señal a ruido \(qg_{SNR}\) y la curvatura de información \(qg_\kappa\) a lo largo de la trayectoria, y el déficit disipativo \(qg_\tau\) como medida de la visibilidad que el ruido le deja a la estimación de amplitud. El capítulo desarrolla esa lectura y la contrasta con lo que ocurre cuando las compuertas tienen ruido, donde la lectura qg pierde frente a la herramienta más simple.
3.1 Matrices de transición sin funciones trascendentes
El capítulo 2 mostró que toda compuerta de un qubit tiene matriz de transición
\[ T(q)=\begin{pmatrix}\tfrac{1+q}{2}&\tfrac{1-q}{2}\\[0.5ex]\tfrac{1-q}{2}&\tfrac{1+q}{2}\end{pmatrix}, \]
doblemente estocástica y racional en \(q\). Por construcción es uniestocástica: proviene de un unitario. Su composición enseña la diferencia entre probabilidad clásica y amplitud cuántica. Dos canales clásicos de sesgos \(q_1\) y \(q_2\) se componen multiplicando: \(T(q_1)T(q_2)=T(q_1q_2)\). Dos rotaciones cuánticas sucesivas, en cambio, dan
\[ q_{12}=\cos(\theta_1+\theta_2)=q_1q_2-\sqrt{(1-q_1^2)(1-q_2^2)} . \]
El término \(-\sqrt{(1-q_1^2)(1-q_2^2)}\) es la interferencia: la parte transversal de cada estado, invisible en \(T\), que se suma en amplitud. Con \(q_1=0{,}3\) y \(q_2=-0{,}5\), la composición clásica da \(-0{,}15\) y la cuántica \(-0{,}976\): en mili-qang, \(-150\) frente a \(-976\), una interferencia de 826 m-qg, cerca de la mitad de la escala. La matriz de transición describe cada compuerta por separado, pero no la secuencia: para eso hacen falta las fases. En la escala angular qga del capítulo 1 (Sección 1.4) la composición cuántica es simplemente aditiva: \(\theta_1=201{,}5\) qga, \(\theta_2=333{,}3\) qga, la suma es \(534{,}8\) qga y \(\cos(2\pi\cdot534{,}8/1000)=-0{,}976\). Lo que no es aditivo es la lectura en m-qg.
3.2 El reflector de Householder en espacio qg
Una reflexión respecto del estado \(|\psi\rangle\) es el operador de Householder \(I-2|\psi\rangle\langle\psi|\). Para \(|\psi(q)\rangle=\sqrt{\tfrac{1+q}{2}}|0\rangle+\sqrt{\tfrac{1-q}{2}}|1\rangle\) resulta
\[ H(q)=I-2|\psi(q)\rangle\langle\psi(q)|=-q\,\sigma_z-\sqrt{1-q^2}\;\sigma_x , \]
una matriz hermítica, unitaria y con \(H(q)^2=I\), cuyos coeficientes son los propios valores qg del estado: \(q\) en \(\sigma_z\) y su parte transversal \(\sqrt{1-q^2}\) en \(\sigma_x\) (§166). En la esfera de Bloch es la rotación de ángulo \(\pi\) (500 qga) alrededor del eje del estado, compuesta con un cambio de signo global.
3.3 El difusor de Grover como reflexión qg
El difusor de Grover refleja respecto del estado inicial: \(D=2|\psi\rangle\langle\psi|-I\). Comparando con la sección anterior,
\[ D(q)=-H(q)=q\,\sigma_z+\sqrt{1-q^2}\;\sigma_x . \]
En el plano de dos dimensiones del algoritmo (el estado “bueno”, buscado, y el “malo”, su complemento), el oráculo es la reflexión respecto del eje malo y el difusor la reflexión respecto del estado inicial. El producto de dos reflexiones es una rotación por el doble del ángulo entre sus ejes: esa es toda la dinámica de Grover. En la métrica de Fubini–Study (Sección 1.4), cada iteración recorre la misma longitud de arco sobre un círculo máximo: \(2t\) en el espacio de Hilbert, es decir, \(4t\) en el ángulo de Bloch del qubit bandera de la sección de Chebyshev.
3.4 Probabilidad de transición entre estados qg
La fidelidad entre dos estados puros se escribe con sus vectores qg \(\mathbf r=(qg_X,qg_Y,qg_Z)\):
\[ |\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2=\frac{1+\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2}{2}. \]
Si los dos estados comparten el meridiano (la misma fase azimutal), queda en función de los sesgos polares solamente:
\[ P(q_1\to q_2)=\frac{1+q_1q_2+\sqrt{(1-q_1^2)(1-q_2^2)}}{2}. \]
La condición importa: con azimutes distintos, los sesgos polares no bastan y hace falta la parte transversal completa. La fórmula se verificó contra el producto interno en 200 pares aleatorios (§166).
La probabilidad de transición en la ecuación del capítulo 1. \(P\) es una probabilidad, de modo que tiene sus propias lecturas qang. Si \(\gamma\) es el ángulo entre los dos vectores de Bloch, \(\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2=\cos\gamma\) y \(P=\cos^2(\gamma/2)\): es la regla de Born con \(\gamma\) en el lugar de \(\theta\). Por lo tanto
\[ 2\arccos\sqrt P=\gamma,\qquad m_P = 2000\,P-1000 = 1000\;\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2\ \text{m-qg}: \]
el ángulo qang de la probabilidad de transición es el ángulo entre los estados, y su lectura en mili-qang es mil veces el producto escalar de sus vectores qg. Es la distancia estadística de Wootters del capítulo 1 aplicada a dos estados (Sección 1.3). Con \(q_1=0{,}3\) y \(q_2=-0{,}5\) en el mismo meridiano, \(P=0{,}838\), \(m_P=+676\) m-qg y \(\gamma=0{,}828\) rad, que es exactamente \(|\theta_1-\theta_2|=|\arccos 0{,}3-\arccos(-0{,}5)|\). En qga, \(\gamma=131{,}8\) qga y \(P=\cos^2(\pi\gamma_{qga}/1000)\).
La distancia geodésica. La distancia de Fubini–Study entre los dos estados, el recorrido mínimo entre ellos sobre el espacio de estados, es
\[ qg_L=\arccos\sqrt P=\frac{\gamma}{2}, \]
la magnitud \(qg_L\) del capítulo 1: en el ejemplo, \(0{,}414\) rad (\(65{,}9\) qga). En un meridiano común coincide con el ángulo de Bhattacharyya de las dos lecturas en \(Z\), de modo que se obtiene de dos histogramas de un qubit sin tomografía. Con azimutes distintos la lectura en \(Z\) la subestima: dos estados con \(q=0{,}45\) y fases \(0\) y \(\pi\) tienen la misma lectura, y por tanto ángulo de Bhattacharyya nulo en \(Z\), pero \(\lvert\langle\psi_1\vert\psi_2\rangle\rvert =0{,}45\) y están a \(qg_L=\arccos0{,}45=1{,}104\) rad (\(175{,}7\) qga). Hace falta entonces la parte transversal completa.
3.5 La trayectoria de Grover como polinomio de Chebyshev
Sea \(a=\sin^2 t\) la fracción de estados buenos, leída con un qubit bandera cuyo sesgo inicial es \(qg_0=1-2a=\cos 2t\). Cada iteración avanza el ángulo de amplitud en \(2t\), de modo que tras \(k\) iteraciones el ángulo es \((2k+1)t\) y
\[ qg_k=\cos\big((2k+1)\,2t\big)=T_{2k+1}(qg_0), \]
con \(T_m\) el polinomio de Chebyshev de primera especie, \(T_m(\cos x)=\cos mx\) (§37). Por la ecuación de probabilidad, la probabilidad de éxito es \(P_k=(1-qg_k)/2\), y el éxito seguro es el polo \(-1000\) m-qg. Por ejemplo, con \(a=0{,}1\), \(qg_0=0{,}8\) y las iteraciones sucesivas dan \(+800\), \(-352\), \(-997\) y \(-206\) m-qg: el sesgo atraviesa el polo en \(k=2\) (\(P_2=0{,}9986\)) y luego se aleja (Figura 3.1). En qga el paso es uniforme: \(t=51{,}2\) qga, el ángulo de Bloch de la bandera arranca en \(2t=102{,}4\) qga y avanza \(4t=204{,}8\) qga por iteración; en \(k=2\) llega a \(512{,}1\) qga, 12 qga más allá del polo (500 qga).
La estructura de Chebyshev da gratis la información de Fisher de un disparo a profundidad \(m=2k+1\). Como \(T_m'=mU_{m-1}\) y \(1-T_m^2=(1-q^2)U_{m-1}^2\),
\[ F_m=\frac{m^2}{1-qg_0^2}: \]
la profundidad multiplica por \(m^2\) la información qg del capítulo 1, de manera uniforme a lo largo de la franja. Es la forma qg del conocido factor \(4m^2\) para el ángulo (Suzuki et al. 2020). En la escala del mili-qang, la resolución sobre \(qg_0\) con \(N\) disparos a profundidad \(m\) es \(1000\sqrt{1-qg_0^2}/(m\sqrt N)\) m-qg: con \(a=0{,}1\) y 100 disparos, 60 m-qg sin iterar y 12 m-qg a profundidad \(m=5\). Respecto del ángulo inicial de la bandera, la información es \(m^2\) veces la del capítulo 1 sin depender del estado: \(m^2\cdot4\pi^2\cdot10^{-6}\) qga\(^{-2}\), con una resolución de \(159{,}15/(m\sqrt N)\) qga, es decir, 15,9 qga sin iterar y 3,2 qga a profundidad 5. En términos de la fracción buscada, \(1-qg_0^2=4a(1-a)\), de modo que \(F_m=m^2/[4a(1-a)]\) y la resolución es \(2000\sqrt{a(1-a)}/(m\sqrt N)\) m-qg.
3.5.1 La trayectoria como oscilación armónica
La formulación del tratado lee \(qg_k=\cos\big((2k+1)\,2t\big)\) como un oscilador armónico muestreado: la bandera recorre un coseno a paso angular constante, \(4t\) por iteración. Si cada iteración dura \(\Delta t\), esa es una frecuencia angular de \(4t_{qga}/\Delta t\) qga por segundo, es decir, en qHz (Sección 1.11); con \(a=0{,}1\), 204,8 qga por iteración. La imagen tiene una consecuencia útil. En el polo el coseno está en su punto de retorno, donde la velocidad \(d\,qg/dk\) se anula: allí el éxito es insensible, a primer orden, a un error de ángulo. Si la bandera queda a \(\delta\) del polo, \(P=\cos^2(\delta/2)\approx1-\delta^2/4\). Los 12,1 qga de más de \(k=2\) cuestan sólo 0,14 % de éxito (\(P_2=0{,}9986\)); 25 qga costarían 0,6 %, y 50 qga, 2,4 %. Por eso el redondeo de \(k^\ast\) pesa poco cuando \(a\) es chica y mucho cuando el paso es grueso. La distancia geodésica a la solución lo dice en una cifra: tras \(k=2\), \(qg_L(qg_2,-1)=6{,}04\) qga, la mitad del exceso de ángulo de Bloch.
La entropía del resultado recorre el mismo ciclo: \(qg_S\) vale \(0{,}469\), \(0{,}909\), \(0{,}016\) y \(0{,}969\) bits en \(k=0,\dots,3\). Cae casi a cero en el óptimo y vuelve a subir al pasarse. Como las otras magnitudes derivadas, es función de \(qg_k\) y no distingue de qué lado del polo está la bandera.
Materia y antimateria: lo que la analogía permite decir. El tratado propone leer la rotación de Grover como un canal de conversión entre materia y antimateria, con el ecuador como «mesón neutro» y la inversión como conjugación de carga. Como afirmación física no se adopta: los subespacios marcado y no marcado de una búsqueda no son partícula y antipartícula. Lo que sí es exacto es más modesto. La oscilación de un mesón neutro entre su estado de partícula y el de antipartícula es también una rotación de dos niveles, y su asimetría de mezcla \((N_\text{sin mezclar}-N_\text{mezclados})/(N_\text{sin mezclar}+N_\text{mezclados})=\cos(\Delta m\,t)\), válida cuando las dos anchuras son iguales (Navas et al. 2024), es un \(qg_Z\): tiene ángulo qang \(\Delta m\,t\) y barra de error uniforme en ese ángulo, como cualquier lectura del capítulo 1. Grover y el mesón comparten la cinemática, un coseno, y nada más: el mesón además decae. El apéndice G (Apéndice G) da la lectura correcta de la conjugación de carga, que invierte el valor esperado de la matriz \(\beta\) de Dirac.
Dos estados ortogonales, como el marcado y su complemento, están a \(qg_L=\pi/2\), es decir, 250 qga, la distancia máxima; una evolución unitaria ideal conserva la pureza (\(qg_\tau=0\)) a lo largo de todo el arco.
3.6 Límites analíticos: ángulo grueso y sobreoscilación
El número óptimo de iteraciones es \(k^\ast=\operatorname{round}\!\big(\tfrac{\pi}{4t}-\tfrac12\big)\); con \(t\) en qga, \(k^\ast=\operatorname{round}(125/t_{qga}-\tfrac12)\). Cuando la fracción buscada \(a=M/N\) es pequeña, \(t\) es pequeño, \(k^\ast\approx\tfrac{\pi}{4}\sqrt{N/M}\) y el redondeo apenas pesa. Cuando \(M/N\) no es despreciable, el ángulo por iteración es grueso: el sesgo salta en pasos grandes sobre la curva \(\cos((2k+1)2t)\) y puede pasarse del polo. Iterar de más no mejora; empeora, porque la rotación sigue de largo. La lectura qg hace visible ese comportamiento: \(qg_k\) recorre un coseno muestreado en puntos impares. Con \(a=0{,}3\), \(k^\ast=1\) da \(-944\) m-qg (\(P=0{,}972\)) y una iteración más salta a \(+884\) m-qg (\(P=0{,}058\)), la curva naranja de la Figura 3.1.
3.6.1 Señal a ruido y curvatura a lo largo de la trayectoria
La formulación propone leer la trayectoria con dos magnitudes derivadas del capítulo 1: la señal a ruido por disparo \(qg_{SNR}=\lvert qg_k\rvert/\sqrt{1-qg_k^2}\) y la curvatura de información \(qg_\kappa=1/[\ln2\,(1-qg_k^2)]\). La Tabla 3.1 las da para \(a=0{,}1\).
| iteración \(k\) | profundidad \(m\) | \(qg_k\) (m-qg) | ángulo de Bloch (qga) | éxito \(P_k\) | \(qg_{SNR}\) | \(qg_\kappa\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(+800{,}0\) | \(102{,}4\) | \(0{,}1000\) | \(1{,}33\) | \(4{,}01\) |
| 1 | 3 | \(-352{,}0\) | \(307{,}2\) | \(0{,}6760\) | \(0{,}38\) | \(1{,}65\) |
| 2 (óptimo) | 5 | \(-997{,}1\) | \(512{,}1\) | \(0{,}9986\) | \(13{,}15\) | \(250{,}8\) |
| 3 (se pasó) | 7 | \(-206{,}4\) | \(716{,}9\) | \(0{,}6032\) | \(0{,}21\) | \(1{,}51\) |
Junto al polo las dos se disparan, y la formulación propone usarlas como detector de proximidad polar para cortar las iteraciones antes de la sobreoscilación. Hay dos precisiones. Primero, son funciones de \(qg_k\): un umbral sobre \(qg_{SNR}\) o sobre \(qg_\kappa\) es un umbral sobre \(\lvert qg_k\rvert\), y no distingue si la bandera llegó al polo o ya lo pasó. En \(k=2\) está 12 qga más allá del polo, y ambas valen lo mismo que 12 qga antes. Lo que dice si conviene otra iteración es la fórmula de \(k^\ast\), no la magnitud. Segundo, leerlas cuesta disparos: medir la bandera destruye el estado, de modo que cada \(k\) consultado es una corrida aparte. El uso que sí aportan es el del capítulo 1: \(qg_{SNR}\) dice cuántos disparos hacen falta para confirmar el signo de la lectura final, \(N=(3/qg_{SNR})^2\), es decir, un disparo en \(k=2\) y 64 en \(k=1\).
3.6.2 Grover con ruido
Con compuertas ruidosas el cuadro cambia, y es útil registrarlo tal como resultó (§63). En búsquedas de 4 a 6 qubits, con cada Z multicontrolada compilada en 14, 36 y 84 CNOT y ruido despolarizante en cada CNOT:
- El ruido adelanta la mejor iteración y consume la ventaja. Con \(n=6\) y \(p_2=0{,}005\) la mejor iteración pasa de 4 a 1 y el costo por éxito verificado sube de 6,1 a 27,6 llamadas al oráculo, frente a 32 de la búsqueda clásica.
- La fórmula qg falla bajo ruido de compuerta. Si los resultados no buscados fueran uniformes, cada qubit tendría \(qg_{Z,i}=\pm(NP-1)/(N-1)\), y los signos darían la respuesta y la magnitud la probabilidad de éxito sin conocerla. El ruido despolarizante no es uniforme tras el difusor, y la estimación sin etiquetas resultó peor que la frecuencia del resultado más común en todos los casos.
- Leer la respuesta por signos pierde. Con \(n=5\), 100 disparos encuentran el elemento marcado el 66% de las veces con los signos qg y el 91% con la cadena de bits más frecuente.
El balance honesto: en la búsqueda de Grover el histograma de resultados es mejor estimador que la lectura qg por qubit. qg aporta la imagen de Chebyshev y el factor de información, no un estimador superior. La versión de trabajo del autor propone además una energía variacional regularizada para circuitos de reflexión y una función de radiación que seguiría a \(P_k\) durante la amplificación; son las propuestas abiertas del capítulo 1 (Sección 1.12), sin verificar.
3.7 Estimación de amplitud
Donde la estructura de Chebyshev sí rinde es en la estimación de amplitud: usar profundidades crecientes para estimar \(a\) con menos consultas al oráculo que el muestreo directo. Con la estimación de máxima verosimilitud (profundidades 0, 1, 2, 4, …, 100 disparos cada una), sin ruido, el error cae como consultas\(^{-0,93\ldots-1,12}\) frente a consultas\(^{-0,5}\) del Monte Carlo, y es 8,4–9,3 veces menor con 26 200 consultas (§37).
El ruido pone límites. Con despolarización \(p=0{,}01\) por iteración, una verosimilitud que ignora el ruido termina peor que Monte Carlo (\(6{,}8\cdot10^{-3}\) frente a \(2{,}7\cdot10^{-3}\)), mientras que una que lo incluye conserva una ventaja de 4×. Con \(p=0{,}05\), ni siquiera la verosimilitud con ruido supera a Monte Carlo: más allá de una profundidad del orden de \(1/p\) las iteraciones casi no aportan señal.
El déficit disipativo del capítulo 1 pone ese límite en la escala qg. En el modelo de visibilidad de la verosimilitud, cada iteración acorta el vector qg de la bandera en un factor \(V\); tras \(k\) iteraciones la franja tiene amplitud \(V^k\) y
\[ qg_\tau=\sqrt{1-V^{2k}} . \]
Con \(V=1-p\), \(V^k\approx e^{-kp}\): hacia \(k\approx1/p\) la franja cae a \(1/e\) de su amplitud y \(qg_\tau\) pasa de \(0{,}93\), de modo que las iteraciones siguientes agregan profundidad sobre un estado casi mezclado. Con una visibilidad de \(0{,}975\) por iteración, el centro del rango que se ajusta en IonQ (párrafo siguiente), \(qg_\tau\) vale \(0{,}63\) tras 10 iteraciones y \(0{,}80\) tras 20. Es la misma frontera de la profundidad \(1/p\), leída como pérdida de pureza.
En el simulador con ruido calibrado de IonQ (3 qubits, \(a=0{,}3\), 36 000 consultas), la estimación fue precisa, con error cuadrático medio de 0,0005–0,0015 y visibilidad ajustada de 0,965–0,985 por iteración, y entre 7 y 30 veces mejor que un Monte Carlo realista, cuyo circuito de profundidad cero está sesgado por el ruido del dispositivo (§39).
3.8 Sin qang y con qang
| acción | sin qang | con qang | diferencia |
|---|---|---|---|
| probabilidad de transición entre dos estados | \(\lvert\langle\psi\vert\phi\rangle\rvert^2\) | \((1+\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2)/2\), con ángulo qang igual al ángulo entre los estados y lectura \(1000\,\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2\) m-qg | ninguna en el valor; qang lo vuelve geométrico |
| trayectoria de Grover | \(\sin^2((2k+1)\theta_0)\) | \(qg_k=T_{2k+1}(qg_0)\), éxito en \(-1000\) m-qg | equivalente; la forma de Chebyshev muestra que la resolución en m-qg mejora un factor \(m\) con la profundidad |
| distancia entre dos estados | \(\arccos\lvert\langle\psi\vert\phi\rangle\rvert\) | \(qg_L=\gamma/2\), que en un meridiano común sale de dos histogramas en \(Z\) | conveniencia; con azimutes distintos la lectura en \(Z\) no basta |
| decidir cuándo dejar de iterar | \(k^\ast\) por la fórmula | umbral sobre \(qg_{SNR}\) o \(qg_\kappa\) | ninguna: son funciones de \(\lvert qg_k\rvert\) y no ven si se pasó el polo; la fórmula de \(k^\ast\) sí |
| leer la búsqueda con ruido | histograma de cadenas de bits | lectura qg por qubit | en contra: la lectura qg pierde frente al histograma |
| estimar una amplitud con ruido | máxima verosimilitud sobre conteos | la misma, con el ruido escrito en la verosimilitud qg | a favor hasta una profundidad cercana a \(1/p\), no más allá |
Balance. Las identidades del capítulo son exactas, pero ninguna da un número que no se obtenga con la amplitud habitual. La única comparación con ruido real del capítulo es desfavorable para la lectura qg, y queda escrita así.
3.9 En código
from qang import algebra, probability
algebra.householder_qg(0.45) # -0.45 Z - 0.893 X, una reflexión: H @ H = I
algebra.grover_diffuser_qg(0.45) # +0.45 Z + 0.893 X
P = algebra.transition_probability(0.3, -0.5) # 0.838, mismo meridiano
algebra.transition_probability(0.3, -0.5, 0.0, 1.2) # con azimutes distintos
probability.readings_from_p0(P) # theta = 0.828 rad (el ángulo entre los estados), +676 m-qg
algebra.geodesic_distance(0.3, -0.5) # qg_L = 0.414 rad (65.9 qga) = gamma / 2
qg_2 = algebra.chebyshev_trajectory(0.8, 2) # -0.9971 (-997 m-qg, P = 0.9986), a = 0.1
probability.quantum_snr(qg_2) # 13.15
probability.information_curvature(qg_2) # 250.8
algebra.grover_fisher_information(0.8, 5) # 69.4 por disparo: 25 veces la de m = 1
algebra.geodesic_distance(qg_2, -1.0) # 0.038 rad (6.04 qga) hasta la solución3.10 Resumen
- La matriz de transición de una compuerta es racional en \(q\), pero no se compone como la compuerta: la diferencia entre \(q_1q_2\) y \(\cos(\theta_1+\theta_2)\) es la interferencia.
- El reflector de Householder y el difusor de Grover son \(\mp(q\,\sigma_z+\sqrt{1-q^2}\,\sigma_x)\).
- La probabilidad de transición entre dos estados es \((1+\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2)/2\); en un mismo meridiano depende solo de los sesgos polares. Leída con la ecuación del capítulo 1, su ángulo qang es el ángulo entre los estados y su lectura es \(1000\,\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2\) m-qg. La distancia geodésica es \(qg_L=\gamma/2\).
- La trayectoria de Grover es \(qg_k=T_{2k+1}(qg_0)\), con éxito seguro en \(-1000\) m-qg, y la información de Fisher a profundidad \(m\) es \(m^2/(1-qg_0^2)\): la resolución en m-qg mejora en un factor \(m\).
- \(qg_{SNR}\) y \(qg_\kappa\) se disparan junto al polo, pero como criterio de parada no ven si la bandera ya lo pasó; lo que aportan es el número de disparos para confirmar el signo de la lectura final.
- La trayectoria es un coseno muestreado: en el polo está en su punto de retorno, de modo que un exceso de 12 qga cuesta sólo 0,14 % de éxito. La lectura materia–antimateria de la rotación no se adopta; lo exacto es que la asimetría de mezcla de un mesón neutro, \(\cos(\Delta m\,t)\), es un \(qg_Z\).
- Con ruido, la lectura qg por qubit pierde frente al histograma en la búsqueda; en la estimación de amplitud la ventaja se mantiene si el ruido entra en la verosimilitud, y termina cerca de la profundidad \(1/p\), donde el déficit disipativo de la bandera, \(qg_\tau=\sqrt{1-V^{2k}}\), pasa de \(0{,}93\).
Notas bibliográficas
El reflector es el de Householder (1958). La búsqueda de Grover es Grover (1996), y la amplificación y estimación de amplitud, Brassard et al. (2002); la estimación por máxima verosimilitud sin estimación de fase es Suzuki et al. (2020). La probabilidad de transición entre estados qg es la distancia de Wootters (1981). Las notas de investigación numeradas (§) que cita el capítulo y los scripts que lo verifican están en el repositorio (Monteverde 2026a); la definición de la unidad qang, en Monteverde (2026b).